необходимое условие знакоопределенности квадратичной формы

Квадратичные формы.
Знакоопределённость форм. Критерий Сильвестра

Прилагательное «квадратичный» сразу наталкивает на мысль, что что-то здесь связано с квадратом (второй степенью), и очень скоро мы узнаем это «что-то» и что такое форма. Прямо скороговоркой получилась 🙂

Приветствую вас на своём новом уроке, и в качестве незамедлительной разминки мы рассмотрим форму в полосочку линейную. Линейной формой kvadratichnye formy clip image002переменных называют однородный многочлен 1-й степени:

kvadratichnye formy clip image004, где:

kvadratichnye formy clip image006– какие-то конкретные числа* (предполагаем, что хотя бы одно из них отлично от нуля), а kvadratichnye formy clip image008– переменные, которые могут принимать произвольные значения.

* В рамках данной темы будем рассматривать только действительные числа.

С термином «однородный» мы уже сталкивались на уроке об однородных системах линейных уравнений, и в данном случае он подразумевает, что у многочлена нет приплюсованной константы kvadratichnye formy clip image010.

Например: kvadratichnye formy clip image012– линейная форма двух переменных

Теперь форма квадратичная. Квадратичной формой kvadratichnye formy clip image002 0000переменных называют однородный многочлен 2-й степени, каждое слагаемое которого содержит либо квадрат переменной, либо парное произведение переменных. Так, например, квадратичная форма двух переменных kvadratichnye formy clip image014имеет следующий вид:

kvadratichnye formy clip image016

Внимание! Это стандартная запись, и что-то менять в ней не нужно! Несмотря на «страшный» вид, тут всё просто – двойные подстрочные индексы констант сигнализируют о том, какие переменные входят в то или иное слагаемое:
kvadratichnye formy clip image018– в этом слагаемом находится произведение kvadratichnye formy clip image020и kvadratichnye formy clip image020 0000(квадрат);
kvadratichnye formy clip image022– здесь произведение kvadratichnye formy clip image024;
kvadratichnye formy clip image026– и здесь произведение kvadratichnye formy clip image028.

Далее будем полагать, что хотя бы одна из констант не равна нулю, и вот, пожалуйста, «неполный» пример: kvadratichnye formy clip image030, в котором:

kvadratichnye formy clip image032– сразу упреждаю грубую ошибку, когда теряют «минус» у коэффициента, не понимая, что он относится к слагаемому: kvadratichnye formy clip image034

Иногда встречается «школьный» вариант оформления в духе kvadratichnye formy clip image036, но то лишь иногда. Кстати, заметьте, что константы kvadratichnye formy clip image038нам тут вообще ни о чем не говорят, и поэтому запомнить «лёгкую запись» труднее. Особенно, когда переменных больше.

И квадратичная форма трёх переменных содержит уже шесть членов:

kvadratichnye formy clip image040

…почему в «смешанных» слагаемых ставятся множители-«двойки»? Это удобно, и скоро станет понятно, почему.

Далее ситуация начинает усугубляться:

kvadratichnye formy clip image042

и усугублять мы её дальше не будем, т.к. формы с бОльшим количеством переменных встречаются довольно редко.

Однако общую формулу запишем, её удобно оформить «простынёй»:

kvadratichnye formy clip image044
– внимательно изучаем каждую строчку – ничего страшного тут нет!

Квадратичная форма содержит kvadratichnye formy clip image002 0001слагаемых с квадратами переменных и kvadratichnye formy clip image047слагаемых с их парными произведениями (см. комбинаторную формулу сочетаний). Больше ничего – никаких «одиноких иксов» и никакой приплюсованной константы (тогда уже получится не квадратичная форма, а неоднородный многочлен 2-й степени).

Матричная запись квадратичной формы

Как на счёт матриц? 🙂 Знаю, знаю, соскучились. В практических задачах широко распространенная матричная запись квадратичных форм. Объяснения опять начну с формы линейной, например, от трёх переменных: kvadratichnye formy clip image049. Её можно записать, как произведение двух матриц:

kvadratichnye formy clip image051

И действительно, выполняя матричное умножение, получаем матрицу «один на один»: kvadratichnye formy clip image053, единственный элемент которой можно эквивалентно записать вне матрицы: kvadratichnye formy clip image055.

Легко понять, что линейная форма «эн» переменных записывается в виде:
kvadratichnye formy clip image057

Квадратичная форма представима в виде произведения уже трёх матриц:

kvadratichnye formy clip image059, где:

kvadratichnye formy clip image061– столбец переменных;

kvadratichnye formy clip image063– его транспонированная строка;

kvadratichnye formy clip image065матрица квадратичной формы.

Это так называемая симметрическая матрица, на главной диагонали которой расположены коэффициенты kvadratichnye formy clip image067при квадратах неизвестных, а симметрично относительно неё – «смешанные» коэффициенты, причём, строго на «своих местах» (например, kvadratichnye formy clip image069– в 1-й строке, 3-м столбце и 1-м столбце, 3-й строке).

Определитель kvadratichnye formy clip image071называют дискриминантом квадратичной формы, а ранг матрицы kvadratichnye formy clip image073рангом квадратичной формы.

Если перемножить три матрицы kvadratichnye formy clip image075, то получится в точности длинная «простыня» из предыдущего параграфа, но разворачивать её мы, конечно, не будем, а посмотрим, как это происходит в элементарном случае kvadratichnye formy clip image016 0000. Согласно общей формуле, матричная запись данной формы имеет следующий вид:

kvadratichnye formy clip image078

И в самом деле:
kvadratichnye formy clip image080
далее:
kvadratichnye formy clip image082
kvadratichnye formy clip image084, в чём и требовалось убедиться.

Как вариант, сначала можно было перемножить правые матрицы, и затем первую матрицу умножить на полученный результат.

Вам понравилось так же, как и мне? Ну тогда пример для самостоятельного решения =)

Записать квадратичную форму в матричном виде и выполнить проверку. Определить дискриминант и ранг формы.

kvadratichnye formy clip image086

…что-то смущает? 😉 Краткое решение и ответ в конце урока! Статьи об определителе и ранге матрицы – в помощь.

После чего разберём аналогичную задачу с формой трёх переменных:

Записать матрицу квадратичной формы, найти её ранг и дискриминант

kvadratichnye formy clip image088

Решение: сбросим тяжёлую ношу лишних формул, и будем ориентироваться на сами члены:

– слагаемое kvadratichnye formy clip image090дважды содержит 1-ю переменную, поэтому kvadratichnye formy clip image092;

– из аналогичных соображений определяем kvadratichnye formy clip image094и сразу записываем результаты на главную диагональ симметрической матрицы: kvadratichnye formy clip image096.

Так как в слагаемое kvadratichnye formy clip image098входят 1-я и 2-я переменная, то kvadratichnye formy clip image100(не забываем поделить на 2) и данный коэффициент занимает свои законные места: kvadratichnye formy clip image102.

Поскольку в форме отсутствует член с произведением kvadratichnye formy clip image104(а точнее, присутствует с нулевым множителем: kvadratichnye formy clip image106), то kvadratichnye formy clip image108, и на холст отправляются два нуля: kvadratichnye formy clip image110.

И, наконец, из слагаемого kvadratichnye formy clip image112определяем kvadratichnye formy clip image114, после чего картина завершена:
kvadratichnye formy clip image116– матрица квадратичной формы. Вот так-то оно бывает – мы не только не испугались «страшных обозначений» kvadratichnye formy clip image118, но и заставили их работать на себя!

По условию не требовалось записывать матричное уравнение, однако науки ради:
kvadratichnye formy clip image120

Желающие могут перемножить три матрицы, в результате чего должна получиться исходная квадратичная форма.

Теперь определим ранг формы. Он равен рангу матрицы kvadratichnye formy clip image073 0000. Так как в матрице есть хотя бы один ненулевой элемент, например, kvadratichnye formy clip image123, то ранг не меньше единицы. Теперь вычислим минор kvadratichnye formy clip image125, значит, ранг не меньше двух. И осталось проверить минор 3-го порядка, т.е. определитель всей матрицы. Здесь я ко второму столбцу прибавлю третий и раскрою определитель по 3-й строке:
kvadratichnye formy clip image127, значит, kvadratichnye formy clip image129

Если не очень понятно, что к чему, обязательно изучите статью о ранге матрицы – это довольно замысловатая задачка, и перед нами оказался лишь простой случай, когда угловые миноры не равны нулю.

Дискриминант квадратичной формы получен автоматом.

Ответ: kvadratichnye formy clip image131, ранг равен трём, дискриминант kvadratichnye formy clip image133

Следующее задание для самостоятельного решения:

Восстановить квадратичную форму по её матрице
kvadratichnye formy clip image135

При этом не нужно вспоминать никаких формул! Решение почти устное:

– сначала смотрим на главную диагональ и записываем слагаемые с квадратами переменных;

– затем анализируем симметричные элементы 1-й строки (или 1-го столбца), и записываем все слагаемые, в которые входит 1-я переменная (не забывая удвоить коэффициенты);

– далее смотрим на оставшиеся симметричные элементы 2-й строки (справа от диагонали) либо 2-го столбца (ниже диагонали) и записываем соответствующие парные произведения (с удвоенными коэффициентами!).

– и, наконец, анализируем правую нижнюю пару симметричных чисел.

Подробное решение и ответ в конце урока.

Знакоопределённость квадратичной формы. Критерий Сильвестра

До сих пор мы рассматривали «внешнее устройство» форм и пришло время изучить их функциональное назначение. Да, по существу, они работают, как функции. Вернёмся к простенькой линейной форме kvadratichnye formy clip image012 0000.

Как отмечалось в начале урока, переменные kvadratichnye formy clip image014 0000могут принимать произвольные действительные значения (мы ограничились ими), и каждой такой паре соответствует определённое значение kvadratichnye formy clip image139, например:

kvadratichnye formy clip image141
kvadratichnye formy clip image143, и так далее.

Говоря языком науки, перед нами скалярная функция векторного аргумента, в которой каждому вектору kvadratichnye formy clip image145ставится в соответствие определённое число kvadratichnye formy clip image147. Обращаю ваше внимание, что сейчас идёт речь не о геометрическом векторе, а о векторе в его алгебраическом понимании.

В зависимости от значений kvadratichnye formy clip image149рассматриваемая форма может принимать как положительные, так и отрицательные значения, и то же самое касается любой линейной формы kvadratichnye formy clip image004 0000– если хотя бы один из её коэффициентов отличен от нуля, то она может оказаться как положительной, так и отрицательной (в зависимости от значений kvadratichnye formy clip image008 0000).

Такая форма называется знакопеременной. И если с линейной формой всё прозрачно, то с формой квадратичной дела обстоят куда более интересно:

kvadratichnye formy clip image151

Совершенно понятно, что данная форма может принимать значения любого знака, таким образом, квадратичная форма тоже может быть знакопеременной.

kvadratichnye formy clip image153– всегда, если только kvadratichnye formy clip image014 0001одновременно не равны нулю.

kvadratichnye formy clip image156– для любого вектора kvadratichnye formy clip image145 0000, кроме нулевого kvadratichnye formy clip image158.

И вообще, если для любого ненулевого вектора kvadratichnye formy clip image160, kvadratichnye formy clip image162, то квадратичную форму называют положительно определённой; если же kvadratichnye formy clip image164– то отрицательно определённой.

Можно предположить, что форма определена положительно, но так ли это на самом деле? Вдруг существуют значения kvadratichnye formy clip image014 0002, при которых она меньше нуля?

На этот счёт существует теорема: если ВСЕ собственные числа матрицы квадратичной формы положительны*, то она определена положительно. Если все отрицательны – то отрицательно.

* В теории доказано, что все собственные числа действительной симметрической матрицы действительны

Запишем матрицу вышеприведённой формы:
kvadratichnye formy clip image185и из уравнения kvadratichnye formy clip image187найдём её собственные значения:

kvadratichnye formy clip image189

Решаем старое доброе квадратное уравнение:
kvadratichnye formy clip image191
kvadratichnye formy clip image193, значит, форма kvadratichnye formy clip image182 0000определена положительно, т.е. при любых ненулевых значениях kvadratichnye formy clip image014 0003она больше нуля.

Рассмотренный метод вроде бы рабочий, но есть одно большое НО. Уже для матрицы «три на три» искать собственные числа – есть занятие долгое и неприятное; с высокой вероятностью получится многочлен 3-й степени с иррациональными корнями.

Как быть? Существует более простой путь!

Критерий Сильвестра

Нет, не Сильвестра Сталлоне 🙂 Сначала напомню, что такое угловые миноры матрицы. Это определители kvadratichnye formy clip image196которые «разрастаются» из её левого верхнего угла:
kvadratichnye formy clip image198
и последний из них в точности равен определителю матрицы.

Теперь, собственно, критерий:

1) Квадратичная форма определена положительно тогда и только тогда, когда ВСЕ её угловые миноры больше нуля: kvadratichnie formy clip image002.

2) Квадратичная форма определена отрицательно тогда и только тогда, когда её угловые миноры знакочередуются, при этом 1-й минор меньше нуля: kvadratichnie formy clip image002 0000, kvadratichnie formy clip image004, если kvadratichnye formy clip image002 0001– чётное или kvadratichnie formy clip image008, если kvadratichnye formy clip image002 0001– нечётное.

Если в 1-й или 2-й последовательности есть нулевые миноры, то это два особых случая, которые я разберу чуть позже, после того, как мы перещёлкаем более распространённые примеры. При любой другой комбинации плюсов-минусов (и опционально нулей) форма знакопеременна.

Проанализируем угловые миноры матрицы kvadratichnye formy clip image185 0000:

kvadratichnye formy clip image200, и это сразу говорит нам о том, что форма не определена отрицательно (отпал пункт 2).

kvadratichnye formy clip image202

Вывод: все угловые миноры больше нуля, значит, форма kvadratichnye formy clip image182 0001определена положительно.

Есть разница с методом собственных чисел? 😉

Запишем матрицу формы kvadratichnye formy clip image204из Примера 1:
kvadratichnye formy clip image206

первый её угловой минор kvadratichnye formy clip image208, а второй kvadratichnye formy clip image210, откуда следует, что форма знакопеременна, т.е. в зависимости от значений kvadratichnye formy clip image014 0004, может принимать как положительные, так и отрицательные значения. Впрочем, это и так очевидно.

Возьмём форму kvadratichnye formy clip image213и её матрицу из Примера 2:
kvadratichnye formy clip image215

тут вообще без озарения не разобраться. Но с критерием Сильвестра нам всё нипочём:
kvadratichnye formy clip image217, следовательно, форма точно не отрицательна.

kvadratichnye formy clip image219, и точно не положительна (т.к. все угловые миноры должны быть положительными).

Вывод: форма знакопеременна.

Разминочные примеры для самостоятельного решения:

Исследовать квадратичные формы на знакоопределенность

а) kvadratichnye formy clip image261

б) kvadratichnye formy clip image263

В этих примерах всё гладко (см. конец урока), но на самом деле для выполнения такого задания критерия Сильвестра может оказаться не достаточно.

Дело в том, что существуют «краевые» случаи, а именно: если для любого ненулевого вектора kvadratichnye formy clip image166, то форма определена неотрицательно, если kvadratichnye formy clip image168– то неположительно. У этих форм существуют ненулевые векторы kvadratichnye formy clip image160, при которых kvadratichnye formy clip image172.

Здесь можно привести такой «баян»:
kvadratichnye formy clip image174

Выделяя полный квадрат, сразу видим неотрицательность формы: kvadratichnye formy clip image176, причём, она равна нулю и при любом векторе с равными координатами, например: kvadratichnye formy clip image178.

«Зеркальный» пример неположительно определённой формы:
kvadratichnye formy clip image180
и ещё более тривиальный пример:
kvadratichnie formy clip image002 0001– здесь форма равна нулю при любом векторе kvadratichnie formy clip image004 0000, где kvadratichnie formy clip image006– произвольное число.

Как выявить неотрицательность или неположительнось формы?

Для этого нам потребуется понятие главных миноров матрицы. Главный минор – это минор, составленный из элементов, которые стоят на пересечении строк и столбцов с одинаковыми номерами. Так, у матрицы kvadratichnie formy clip image008 0000существуют два главных минора 1-го порядка:
kvadratichnie formy clip image010(элемент находится на пересечении 1-й строки и 1-го столбца);
kvadratichnie formy clip image012(элемент находится на пересечении 2-й строки и 2-го столбца),

и один главный минор 2-го порядка:
kvadratichnie formy clip image014– составлен из элементов 1-й, 2-й строки и 1-го, 2-го столбца.

У матрицы «три на три» kvadratichnie formy clip image016главных миноров семь, и тут уже придётся помахать бицепсами:
kvadratichnie formy clip image018– три минора 1-го порядка,
три минора 2-го порядка:
kvadratichnie formy clip image020– составлен из элементов 1-й, 2-й строки и 1-го, 2-го столбца;
kvadratichnie formy clip image022– составлен из элементов 1-й, 3-й строки и 1-го, 3-го столбца;
kvadratichnie formy clip image024– составлен из элементов 2-й, 3-й строки и 2-го, 3-го столбца,
и один минор 3-го порядка:
kvadratichnie formy clip image026– составлен из элементов 1-й, 2-й, 3-й строки и 1-го, 2-го и 3-го столбца.
Задание на понимание: записать все главные миноры матрицы kvadratichnie formy clip image028.
Сверяемся в конце урока и продолжаем.

Критерий Шварценеггера:

1) Ненулевая* квадратичная форма определена неотрицательно тогда и только тогда, когда ВСЕ её главные миноры неотрицательны (больше либо равны нулю).

* У нулевой (вырожденной) квадратичной формы все коэффициенты равны нулю.

2) Ненулевая квадратичная форма с матрицей kvadratichnie formy clip image030определена неположительно тогда и только тогда, когда её:
– главные миноры 1-го порядка неположительны (меньше либо равны нулю);
– главные миноры 2-го порядка неотрицательны;
– главные миноры 3-го порядка неположительны (пошлО чередование);

– главный минор kvadratichnye formy clip image002 0001-го порядка неположителен, если kvadratichnye formy clip image002 0001– нечётное либо неотрицателен, если kvadratichnye formy clip image002 0001– чётное.

Если хотя бы один минор противоположного знака, то форма знакопеременна.

Посмотрим, как работает критерий в вышеприведённых примерах:
kvadratichnie formy clip image036

Составим матрицу kvadratichnie formy clip image038формы, и в первую очередь вычислим угловые миноры – а вдруг она определена положительно или отрицательно?
kvadratichnie formy clip image040

Полученные значения не удовлетворяют критерию Сильвестра, однако второй минор не отрицателен, и это вызывает надобность проверить 2-й критерий (в случае kvadratichnie formy clip image0422-й критерий будет не выполнен автоматически, т.е. сразу делается вывод о знакопеременности формы).

Главные миноры 1-го порядка:
kvadratichnie formy clip image044– положительны,
главный минор 2-го порядка:
kvadratichnie formy clip image046– не отрицателен.

Таким образом, ВСЕ главные миноры не отрицательны, значит, форма неотрицательна.

Запишем матрицу kvadratichnie formy clip image048формы kvadratichnie formy clip image050, для которой, очевидно, не выполнен критерий Сильвестра. Но и противоположных знаков мы тоже не получили (т.к. оба угловых минора равны нулю). Поэтому проверяем выполнение критерия неотрицательности / неположительности. Главные миноры 1-го порядка:
kvadratichnie formy clip image052– не положительны,
главный минор 2-го порядка:
kvadratichnie formy clip image054– не отрицателен.

Таким образом, по критерию Шварценеггера (пункт 2), форма определена неположительно.

Теперь во всеоружии разберём более занятную задачку:

Исследовать квадратичную форму на знакоопределенность
kvadratichnye formy clip image221

Данную форму украшает орден «альфа», который может равняться любому действительному числу. Но это ж только веселее будет, решаем.

Сначала запишем матрицу формы, наверное, многие уже приноровились это делать устно: на главную диагональ ставим коэффициенты при квадратах, а на симметричные места – споловиненные коэффициенты соответствующих «смешанных» произведений:
kvadratichnye formy clip image223

Вычислим угловые миноры:
kvadratichnye formy clip image225
третий определитель я раскрою по 3-й строке:
kvadratichnye formy clip image227

Кстати, в силу симметрии, по 3-му столбцу он раскрывается точно так же.

Дальнейшее решение удобно разбить на 2 пункта:

1) Выясним, существуют ли значения «альфа», при которых форма определена положительно или неотрицательно. Согласно критерию Сильвестра, условию положительности формы соответствует следующая система линейных неравенств:
kvadratichnye formy clip image229

В соответствии с поставленной задачей, сначала разберёмся со 2-м неравенством:
kvadratichnye formy clip image231
умножим обе его части на kvadratichnye formy clip image233, сменив у неравенства знак:
kvadratichnye formy clip image235, что противоречит первому неравенству системы.

Таким образом, система несовместна, а значит, форма не может быть положительно определённой ни при каких «альфа», из чего логически и автоматически следует, что она не может быть и неотрицательной.

2) Проведём исследование на отрицательность / неположительнось. По Сильвестру, условию отрицательности формы соответствует следующая система линейных неравенств:
kvadratichnye formy clip image237

Второе неравенство уже решено: kvadratichnye formy clip image239, и оно не противоречит первому. И третье неравенство тоже «вписалось в рамки»: kvadratichnye formy clip image241.
Таким образом, имеем совместную систему:
kvadratichnye formy clip image243
из которой следует, что форма определена отрицательно при kvadratichnye formy clip image245. Например, если kvadratichnye formy clip image247:
kvadratichnye formy clip image249– то при любом ненулевом векторе kvadratichnye formy clip image251данная форма будет строго отрицательна.

Осталось исследовать «пограничный» случай. Если kvadratichnye formy clip image253, то:
kvadratichnye formy clip image255
Последнее значение не удовлетворяет 2-му пункту критерия Сильвестра, однако оно равно нулю, что позволяет предположить неположительнось формы. Запишем матрицу kvadratichnie formy clip image002 0002формы и проверим критерий Шварценеггера. Главные миноры первого порядка:
kvadratichnie formy clip image004 0001– отлично, все миноры неположительны, поэтому проверка продолжается.

Рассчитываем миноры 2-го порядка. Если хотя бы один из них окажется отрицательным, то форма будет знакопеременной:
kvadratichnie formy clip image006 0000
Нет, все миноры неотрицательны, и минор 3-го порядка уже рассчитан:
kvadratichnie formy clip image008 0001

Таким образом, по критерию Шварценеггера (пункт 2), имеет место неположительнось формы, иными словами, kvadratichnye formy clip image257, причём, нулю она равна и при некоторых ненулевых значениях kvadratichnye formy clip image259.

Ответ: при kvadratichnye formy clip image245 0000форма определена отрицательно, при kvadratichnye formy clip image253 0000неположительно, в остальных случаях форма знакопеременна.

И творческое задание для самостоятельного решения:

Исследовать квадратичную форму на знакоопределенность
kvadratichnie formy clip image002 0003

И в заключение статьи хочу выразить благодарность Сергею Хохлову, некогда ст. преподавателю МПГУ – за важные замечания и интересные дополнительные примеры, а также Арнольду Шварценеггеру, который сыграл в непривычном для себя амплуа и помог мне ярче объяснить материал 🙂

Как сказал актёр, I’ll be back, и я жду вас на следующем уроке – о каноническом виде квадратичной формы.

Пример 1. Решение: сначала приведём подобные слагаемые:
kvadratichnye formy clip image265
Квадратичная форма двух переменных имеет вид kvadratichnye formy clip image267, в данном случае: kvadratichnye formy clip image269. Запишем форму в матричном виде:
kvadratichnye formy clip image271

Проверка:
kvadratichnye formy clip image273
что и требовалось проверить.

Вычислим дискриминант формы:
kvadratichnye formy clip image275
Поскольку kvadratichnye formy clip image277, то ранг формы равен двум.

Ответ: kvadratichnye formy clip image279, kvadratichnye formy clip image281, ранг формы равен двум.

Пример 3. Решение: симметрическая матрица 4*4 определяет квадратичную форму 4 переменных. Коэффициенты главной диагонали kvadratichnye formy clip image283, следовательно:
kvadratichnye formy clip image285

Симметричные коэффициенты 1-й строки: kvadratichnye formy clip image287, таким образом:
kvadratichnye formy clip image289

Оставшиеся симметричные элементы 2-й строки: kvadratichnye formy clip image291, и:
kvadratichnye formy clip image293

И, наконец, kvadratichnye formy clip image295

Ответ: kvadratichnye formy clip image297

Пример 4. Решение:

а) запишем матрицу формы:
kvadratichnye formy clip image299
и вычислим её угловые миноры:
kvadratichnye formy clip image301

Таким образом, по критерию Сильвестра, форма определена отрицательно.

б) запишем матрицу формы:
kvadratichnye formy clip image303
и вычислим её угловые миноры:
kvadratichnye formy clip image305

Вывод: форма знакопеременна.

Задание на понимание: у данной матрицы четыре главных минора 1-го порядка:
kvadratichnie formy clip image002 0004,
шесть главных миноров 2-го порядка:
kvadratichnie formy clip image004 0002
четыре главных минора 3-го порядка:
kvadratichnie formy clip image006 0001
и один главный минор 4-го порядка, равный определителю матрицы.

Пример 5*. Решение: запишем матрицу формы kvadratichnie formy clip image008 0002и вычислим её угловые миноры:
kvadratichnie formy clip image010 0000
Таким образом, форма не удовлетворяет критерию Сильвестра, однако, может оказаться неотрицательной (т.к. kvadratichnie formy clip image012 0000и остальные миноры нулевые). Для этого все главные миноры должны быть неотрицательны. Главные миноры 1-го порядка:
kvadratichnie formy clip image014 0000.
Вычислим главные миноры 2-го порядка:
kvadratichnie formy clip image016 0000
kvadratichnie formy clip image018 0000– среди главных миноров встретился отрицательный, следовательно, форма не удовлетворяет критерию неотрицательности.

Ответ: форма знакопеременна.

Автор: Емелин Александр

(Переход на главную страницу)

mark Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам

cкидкa 15% на первый зaкaз, прoмoкoд: 5530-hihi5

Источник

Юридический портал vladimir-voynovich.ru
Adblock
detector